Neste repositório do GitHub tem um tutorial para executar o Redmine no Docker.

Segundo o tutorial, o Redmine é executado usando um conteiner Docker, o que deixa a instalação bem simples e rapidamente você tem o serviço funcionando.

Se você não sabe o que é Docker, recomendo começar lendo os links desta página. É um longo caminho, mas vale a pena conhecer essa tecnologia.

http://blog.aeciopires.com/palestra-transportando-as-aplicacoes-entre-varios-ambientes-com-docker/
http://blog.aeciopires.com/primeiros-passos-com-docker/

Também dou curso de Docker: http://blog.aeciopires.com/curso-docker

Abaixo tem o tutorial customizado para iniciar o conteiner Redmine e MySQL persistindo os dados.

1) Crie o diretório de dados do MySQL.

mkdir -p /opt/docker/mysql/data

2) Crie o diretório de dados, plugins e temas do Redmine.

mkdir -p /opt/docker/redmine/data
mkdir -p /opt/docker/redmine/plugins
mkdir -p /opt/docker/redmine/themes
chmod -R 775 /opt/docker/redmine

3) Baixe a última versão da imagem docker do MySQL e Redmine.

docker pull mysql:5.7
docker pull redmine

4) Inicie o conteiner docker do MySQL com o banco de dados para o Redmine.

docker run -d --name mysql-redmine \
 -p 3306:3306 \
 -v /opt/docker/mysql/data:/var/lib/mysql \
 -e MYSQL_ROOT_PASSWORD=secret \
 -e MYSQL_DATABASE=redmine \
 mysql:5.7

5) Inicie o conteiner docker do Redmine acessando o banco de dados criado no MySQL.

docker run -d --name redmine \
 -p 3001:3000 \
 -v /opt/docker/redmine/data:/usr/src/redmine/files \
 -v /opt/docker/redmine/plugins:/usr/src/redmine/plugins \
 -v /opt/docker/redmine/themes:/usr/src/redmine/themes \
 --link mysql-redmine:mysql \
 redmine

6) O log pode ser visualizado com os comandos abaixo.

docker logs redmine
docker logs mysql-redmine

7) Aguarde até visualizar o trecho abaixo no log do Redmine. Isso pode demorar uns 5 minutos,

[2017-08-16 12:14:46] INFO WEBrick 1.3.1
[2017-08-16 12:14:46] INFO ruby 2.4.1 (2017-03-22) [x86_64-linux]
[2017-08-16 12:14:46] INFO WEBrick::HTTPServer#start: pid=1 port=3000

8) Acesse o Redmine na URL http://IP-Servidor:3001. O login é admin e a senha padrão é admin.

9) Se quiser parar o conteiner, é só executar o comando abaixo.

docker stop redmine
docker stop mysql-redmine

10) Para iniciá-lo novamente, execute o comando abaixo.

docker start mysql-redmine
docker start redmine

Mais informações sobre o Redmine e como configurá-lo, acesse os links abaixo.

docker exec mysql-redmine sh -c 'exec mysqldump redmine -uroot -p"$MYSQL_ROOT_PASSWORD"' > /home/redmine.sql

docker exec -i -t mysql-redmine /bin/bash

root@4f39b60a2dde:/# mysql -u root -p
Enter password: 

mysql> drop database redmine;
mysql> create database redmine;
mysql> quit

root@4f39b60a2dde:/# exit

Restaure o dump no banco novo.

docker stop redmine
docker exec -i mysql-redmine /usr/bin/mysql -uroot -psecret --database=redmine < /home/redmine.sql
docker start redmine
ou
docker stop redmine
cat /home/redmine.sql | docker exec mysql-redmine sh -c 'exec /usr/bin/mysql -u root --password="$MYSQL_ROOT_PASSWORD" redmine'
docker start redmine